Ecuación de la recta

Por dos puntos del plano pasa una y sólo una recta por tanto una recta queda determinada por dos puntos; también por un punto y un vector de dirección, sería válido cualquier vector que una dos puntos de la recta. La ecuación de una recta es una expresión que nos permite calcular las coordenadas de sus puntos.

Sea una recta r que tiene como vector director
v=(a,b) y pasa por un punto P(x0,y0),
si X(x,y) es un punto cualquiera de la recta:
OX=OP+tv.

  • Que expresada en coordenadas:
(x,y)=(a,b)+t(x0,y0)
ECUACIÓN
VECTORIAL
  • A partir de aquí podemos escribir:
x=x0+ta
y=y0+tb
ECUACIONES
PARAMÉTRICAS
  • Despejando t en ambas e igualando:
ECUACIÓN
CONTINUA
  • Operando b(x-x0)=a(y-y0)
    bx-ay-bx0+ay0=0 que escribimos:
Ax+By+C=0
ECUACIÓN
GENERAL
  • Despejando y-y0=(b/a)(x-x0)
    Como m=b/a=tg α donde α es el ángulo que la recta forma con el eje de abscisas y m la pendiente.
y-y0=m(x-x0)
ECUACIÓN
PUNTO PENDIENTE
  • Y de aquí obtenemos: 
y=mx+n
ECUACIÓN
EXPLÍCITA

De la ecuación vectorial a la general

Hallar la ecuación de una recta que tiene como vector director v(3,1) y pasa por el punto P(-1,2).

  • Ecuación VECTORIAL:           (x,y)=(-1,2)+t(3,1)
  • Ecuaciones PARAMÉTRICAS:  x=-1+3t, y=2+t
  • Ecuación CONTINUA:            (x+1)/3=(y-2)/1
  • Ecuación GENERAL:               x-3y+7=0
  • Ecuación EXPLÍCITA:             y=(1/3)x+7/3

Dando valores a t, o bien a x en esta última ecuación podemos obtener distintos puntos de la recta.

Calcula
   •La ecuación de una recta de vector director v(2,-3) y
    que pasa por el punto P(-2,2).
   •La ecuación de una recta que pasa por los puntos
    P(4,3) y Q(-2,4).
Da valores a t, pulsando las flechas y calcula puntos de la recta.
Cambia los valores del vector y del punto y calcula la ecuación de distintas rectas.
 

De la ecuación general a la vectorial

Sea la recta de ecuación general:    2x-3y+3=0

Si la escribimos en forma explícita:  y=(2/3)x+1
la pendiente es m=2/3 y la ordenada en el origen es 1, por tanto (3,2) será un vector director de la recta y (0,1) un punto de la misma, luego la ecuación vectorial:

                                                    (x,y)=(0,1)+t·(3,2)

Un vector director de la recta Ax+By+C=0
es v=(-B,A), y la pendiente m=-B/A

Calcula
El valor de a para que la recta ax+3y-9=0,
• pase por el punto (3,1)
• un vector director sea el v=(6,-4)
• tenga de pendiente m=-1
Calcula distintos puntos de la recta dando valores a x.
Cambia los valores de C y comprueba que las rectas son paralelas.
Utiliza la escena para calcular.

 
Mª José García Cebrian, 2006